Zusammen mit
Andrew Stuart und
Martin Hairer
untersuche ich, wie sich bedingte Verteilungen von Lösungen stochastischer
Differentialgleichungen simulieren lassen. Unsere Methode beruht darauf,
eine stochastische partielle Differentialgleichung zu konstruieren, deren
stationäre Verteilung gleich der gesuchten bedingten Verteilung ist.
Beispiel: Das folgende Bild zeigt die Lösung einer stochastischen
Differentialgleichung auf dem Zeitintervall [0,100], bedingt darauf dass
der Prozess zur Zeit 0 den Wert -1 und zur Zeit 100 den Wert +1 hat. Die
Drift hat stabile Gleichgewichtspunkte an den Stellen -1 und +1, und einen
instabilen Gleichgewichtspunkt an der Stelle 0.
Dieses Verfahrens liefert einen neuen Algorithmus für den
(nicht-linearen) Kalman-Filter: man kann das Paar aus Signal und
(verrauschter) Beobachtung als Lösung einer zweidimensionalen
stochastischen Differentialgleichung auffassen, und mit dem obengenannten
Verfahren die bedingte Verteilung des Signals bei gegebener Beobachtung
untersuchen.
A.M. Stuart, J. Voss and P. Wiberg:
Conditional Path Sampling of SDEs and the Langevin MCMC Method.
Communications in Mathematical Sciences, vol. 2, no. 4,
pp. 685–697, 2004.
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M. Hairer, A.M. Stuart, J. Voss and P. Wiberg:
Analysis of SPDEs arising in Path Sampling, Part I: The Gaussian Case.
Communications in Mathematical Sciences, vol. 3, no. 4,
pp. 587–603, 2005.
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M. Hairer, A.M. Stuart and J. Voss:
Analysis of SPDEs Arising in Path Sampling, Part II: The Nonlinear Case.
Annals of Applied Probability, vol. 17, no. 5,
pp. 1657–1706, 2007.
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A. Apte, M. Hairer, A.M. Stuart and J. Voss:
Sampling The Posterior: An Approach to Non-Gaussian Data Assimilation.
Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 230, no. 1–2,
pp. 50–64, 2007.
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A. Apte, C.K.R.T. Jones, A.M. Stuart and J. Voss:
Data Assimilation: Mathematical and Statistical Perspectives.
International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 56,
no. 8, pp. 1033–1046, 2008.
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A. Beskos, G.O. Roberts, A.M. Stuart and J. Voss:
MCMC Methods for Diffusion Bridges.
Stochastics and Dynamics, vol. 8, no. 3, pp. 319–350,
2008.
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M. Hairer, A.M. Stuart and J. Voss:
Sampling Conditioned Diffusions.
Pages 159–186 in Trends in Stochastic Analysis,
Cambridge University Press,
vol. 353 of London Mathematical Society Lecture Note Series, 2009.
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M. Hairer, A.M. Stuart and J. Voss:
Signal Processing Problems on Function Space: Bayesian Formulation, Stochastic PDEs and Effective MCMC Methods.
To appear in The Oxford Handbook of Nonlinear Filtering (editors Dan Crisan and Boris Rozovsky),
2009.
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M. Hairer, A.M. Stuart and J. Voss:
Sampling Conditioned Hypoelliptic Diffusions.
To appear in the Annals of Applied Probability, 2010.
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Diffusionsprozesse
Zusammen mit meinem Bruder
Andreas Voß
arbeite ich an einem Parameterschätzproblem für Diffusionsprozesse, das
beim Modellieren von binären Entscheidungsprozessen auftritt.
A. Voss, K. Rothermund and J. Voss:
Interpreting the Parameters of the Diffusion Model: An Empirical Validation.
Memory & Cognition, vol. 32, no. 7, pp. 1206–1220,
2004.
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A. Voss and J. Voss:
Fast-Dm: a Free Programm for Efficient Diffusion Model Analysis.
Behavior Research Methods, vol. 39, no. 4, pp. 767–775,
2007.
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A. Voss and J. Voss:
A Fast Numerical Algorithm for the Estimation of Diffusion-Model Parameters.
Journal of Mathematical Psychology, vol. 52, pp. 1–9, 2008.
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A. Voss, J. Voss and K.C. Klauer:
Separating Response-Execution Bias from Decision Bias: Arguments for an Additional Parameter in Ratcliff's Diffusion Model.
To appear in the British Journal of Mathematical and Statistical Psychology,
2009.
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Wir stellen unser fast-dm Program zur
Parameterschätzung im Diffusionsmodell zur Verfügung.
Ich habe meine Diplomarbeit über ein Thema aus dem Bereich der
Diffusionsprozesse geschrieben. Die Arbeit untersucht die Frage, wie gut
man zwei Diffusionsprozesse unterscheiden kann wenn man einen einzelnen
Pfad über lange Zeitintervalle beobachtet.
J. Voß:
Über die Asymptotik des Bayesrisikos bei Diffusionsprozessen.
Diplomarbeit, Universität Kaiserslautern, 1997.
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Große Abweichungen
In meiner Doktorarbeit habe ich einen Satz über große Abweichungen von
Diffusionsprozessen bei starker Drift bewiesen.
J. Voss:
Some Large Deviation Results for Diffusion Processes.
PhD thesis, University of Kaiserslautern, Germany, 2004.
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J. Voss:
Large Deviations for One Dimensional Diffusions with a Strong Drift.
Electronic Journal of Probability, vol. 13, no. 53,
pp. 1479–1526, 2008.
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J. Voss:
Upper and Lower Bounds in Exponential Tauberian Theorems.
Tbilisi Mathematical Journal, vol. 2, pp. 41–50, 2009.
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